高等代數教程簡(jiǎn)介，目錄書(shū)摘

內容簡(jiǎn)介:高等代數教程除了第0 章“整數, 數域與多項式”外, 將“線(xiàn)性代數” 內容分為上下兩篇, 上篇以較為具體的“線(xiàn)性方程組的一般理論問(wèn)題”的提出、分析、抽象、解決和引申為線(xiàn)索組織“線(xiàn)性空間理論”, 并在問(wèn)題的討論中充分使用它; 下篇以“實(shí)二次型的主軸問(wèn)題”的提出、分析、抽象、解決和引申為線(xiàn)索組織“線(xiàn)性變換理論”, 并在問(wèn)題的討論中充分使用它, 這是宏觀(guān)框架, 詳見(jiàn)目錄. 其微觀(guān)處理, 則以“線(xiàn)性相關(guān)性” 這一“線(xiàn)性代數” 的核心概念貫穿始終, 且使用了許多獨特的處理方法和技巧. 每章后的習題之外, 貫穿于各章節中的諸多“注” 提供了若干思考問(wèn)題. 另外, 高等代數教程在“現代化處理上” 實(shí)現了內容上的諸多“更新”(語(yǔ)言上的, 開(kāi)發(fā)路線(xiàn)上的, 證明方法上的, …), 也給出了內容上的適當的“增新” (諸如引進(jìn)了出現于28 年前的“關(guān)于多項式的FermAt 大定理的初等證明”).

目錄:
第 0章整數,數域與多項式  1 

0.1集合,映射與運算  1 

0.2整數  6 

0.3數域  11 

0.4多項式與多項式函數  12 

0.5帶余除法,余數定理和零點(diǎn) —因子定理  17 

0.6最大公因式與最小公倍式  18 

0.7因式分解與重因式  24 

0.8 C, R和 Q上的多項式  31 

0.9關(guān)于多項式的 FermAt大定理的一個(gè)初等證明  36
習題 0 40

上篇線(xiàn)性方程組的一般理論問(wèn)題
引言線(xiàn)性方程組, 5元解法及其在增廣矩陣上的實(shí)現  49

習題  56
第 1章矩陣代數  58 

1.1矩陣代數   58 

1.2分塊矩陣   64 

1.3矩陣的初等變換與等價(jià)標準形  71
習題 1 74
第 2章一類(lèi)特殊線(xiàn)性方程組的行列式法則 (CrAmer法則) 78 

2.1 n階 (方陣的)行列式  78 

2.2行列式的基本性質(zhì) (特別地,方陣代數與行列式)及其應用   81 

2.3線(xiàn)性方程組的 CrAmer法則  90 

2.4行列式的展開(kāi)式  95 

2.5行列式的 (一種)公理化定義 97
習題 2 99 

第 3章線(xiàn)性方程組的一般理論  105 

3.1 n元向量的線(xiàn)性相關(guān)性與方程組的求解問(wèn)題  105 

3.2矩陣的秩與方程組的求解問(wèn)題  110 

3.3線(xiàn)性方程組的解的結構  117
習題 3  127
第 4章線(xiàn)性空間與線(xiàn)性方程組  133 

4.1線(xiàn)性空間與其子空間  133 

4.2維數,基底,坐標與 CrAmer法則  137 

4.3坐標變換與 CrAmer法則  143 

4.4線(xiàn)性空間的同構與線(xiàn)性方程組理論的一個(gè)應用  148 

4.5線(xiàn)性方程組解集的幾何結構  151
習題 4  153
第 5章對稱(chēng)雙線(xiàn)性度量空間與線(xiàn)性方程組  158 

5.1線(xiàn)性空間上的線(xiàn)性和雙線(xiàn)性函數   158 

5.2對稱(chēng)雙線(xiàn)性度量空間與線(xiàn)性方程組可解的幾何解釋  163 

5.3 Euclid空間  166 

5.4向量到子空間的距離與線(xiàn)性方程組的最小二乘法  174
習題 5  179

下篇實(shí)二次型的主軸問(wèn)題
引言二次型主軸問(wèn)題的幾何原型  185 
1二次型的一般問(wèn)題  186 
2從二次曲線(xiàn)講起——實(shí)二次型主軸問(wèn)題的幾何原型  187
習題  193
第 6章線(xiàn)性空間上的線(xiàn)性變換  194 

6.1線(xiàn)性變換及其合成和矩陣表示  194 

6.2不變子空間,特征根與特征向量   204 

6.3特征多項式與最小多項式  208 

6.4 CAyley-HAmilton定理的傳統證明  221
習題 6  222
第 7章線(xiàn)性空間關(guān)于線(xiàn)性變換的一類(lèi)直和分解  230 

7.1線(xiàn)性映射 (特別地,線(xiàn)性變換)的像與核  230 

7.2線(xiàn)性空間關(guān)于線(xiàn)性變換的一類(lèi)直和分解  236
習題 7  241 

第 8章 Euclid空間上的兩類(lèi)線(xiàn)性變換與二次型主軸問(wèn)題  242 

8.1正變變換與對稱(chēng)變換  242 

8.2二次型的主軸問(wèn)題  246 

8.3一個(gè)應用 (將一對實(shí)二次型同時(shí)化簡(jiǎn)為平方和) 253 

8.4二次型的一般問(wèn)題  259
習題 8  276
第 9章引申 --------一般矩陣的 (相似)標準形  280 

9.1 λ矩陣及其等價(jià)標準形  280 

9.2 λ矩陣的行列式因子,不變因子和初等因子  285 

9.3矩陣的相似與其特征矩陣的等價(jià)   289 

9.4矩陣的不變因子與 Frobenius (有理)標準形  292 

9.5矩陣的初等因子與 JAcobson標準形 (特例為 JordAn標準形) 295 

9.6 JordAn標準形的幾何解釋  302
習題 9  304
參考文獻  308
索引  309